Nestabilní systémy

Inverzní kyvadlo

Podrobnosti: Aktualizováno 4. 10. 2013 12:09; Zveřejněno 20. 5. 2012 18:08; Napsal Jaroslav Kolařík; Zobrazeno: 3704

Popis systému

Tento systém se skládá z vozíku, který se může pohybovat na kovové vodící liště. Tyč z hliníku s válcovým závažím je připevněna v ose vozíku. Tento systém je nestabilní a nelineární s jedním vstupem a dvěma výstupy. Vstupní signál je řídicí napětí stejnosměrného motoru, který pohybuje s vozíkem. Výstupy jsou potom poloha vozíku a úhel tyče kyvadla. Oba výstupy se měří pomocí inkrementálních snímačů.

1 - Zesilovač servomechanismu, 2 - Motor, 3 - Hnací kolo, 4 - Hnací řemen, 5 - Kovová vodící tyč

6 - Vozík, 7 - Závaží kyvadla, 8 - Vodící válec, 9 - Tyč kyvadla

Fyzikální parametry modelu:

Všechny použité konstanty byly buď převzaty od výrobce (Amira, 2000) nebo identifikovány pomocí experimentů (Chalupa & Bobál, 2008; Marholt, Gazdoš & Dostál, 2011):

Parametr	Symbol	Hodnota	Parametr	Symbol	Hodnota
Hmotnost vozíku	mc	4 kg	Setrvačný moment kyvadla	Θ	0,08433 kg.m2
Hmotnost kyvadla	mp	0,36 kg	Třecí síla vozíku	Fr	6,5 kg/s
Celková hmotnost	m	4,36 kg	Třecí síla kyvadla	C	0,00652 kg.m2/s
Délka kyvadla	l	0,42 m	Přepočtová konstanta zesilovače	ka	7,5 N/V

Matematický model

Uvedený systém může být popsán následujícími nelineárními diferenciálními rovnicemi (Amira, 2000):

kde F představuje vstupní signál, kterým je síla vytvářená stejnosměrným motorem. Výstupní signály potom jsou poloha vozíku r (r' - označuje jeho rychlost) a úhel kyvadla φ (φ' značí úhlovou rychlost kyvadla). Konstanta g reprezentuje gravitační zrychlení. Ostatní symboly a konstanty jsou definované v tabulce fyzikálních parametrů modelu.

Přenosová funkce pro úhel kyvadla v horní nestabilní poloze byla získána (Marholt, Gazdoš & Dostál, 2011) pomocí linearizace uvedených nelineárních diferenciálních rovnic v pracovním bodě φ = 0: